Os números $a$ e $b$ são inteiros positivos tais que $\dfrac{a}{11}+\dfrac{b}{3}=\dfrac{31}{33}$. Qual é o valor de $a + b$?
a) 5
b) 7
c) 14
d) 20
e) 31
Solução:
$\dfrac{a}{11}+\dfrac{b}{3}=\dfrac{31}{33}$ $\Rightarrow$ $\dfrac{3a+11b}{33}=\dfrac{31}{33}$ $\Rightarrow$ $3a+11b=31$
Agora, precisamos atribuir um valor à incógnita $a$ de modo que $11b$ seja menor ou igual a $22$, que é seu primeiro múltiplo que antecede 31.
Como $a$ e $b$ são inteiros positivos, vamos dar valores desse tipo:
Se $a=1$, temos:
$3.1+11b=31$ $\Rightarrow$ $3+11b=31$ $\Rightarrow$ $11b=31-3$ $\Rightarrow$ $11b=28$.
Nesse caso, vemos que $11b$ não é igual ou menor que $11$ e nem seu múltiplo.
Agora, fazendo $a=2$, temos:
$3.2+11b=31$ $\Rightarrow$ $6+11b=31$ $\Rightarrow$ $11b=31-6$ $\Rightarrow$ $11b=25$.
De forma análoga, vemos que, novamente, $11b$ ainda não atende às condições.
Sendo $a=3$, temos:
$3.3+11b=31$ $\Rightarrow$ $9+11b=31$ $\Rightarrow$ $11b=31-9$ $\Rightarrow$ $11b=22$.
Agora, podemos notar que $11b$ é igual ao seu dobro, ou seja, igual a um múltiplo seu. Dessa forma, temos:
$b=\dfrac{22}{11}$ $\Rightarrow$ $b=2$
Portanto, como chegamos ao resultado com $a=3$, obtendo $b=2$, logo $a+b=3+2=5$.