Sabendo que AB = 5 cm e BC = 1 cm, quanto mede, em cm, a diagonal CD do quadrado?
a) 4 cm
b) 3 cm
c) 6 cm
d) 9 cm
e) 7 cm
Solução:
Inicialmente, vamos às seguintes considerações:
i) Qualquer diagonal de um quadrado também é bissetriz;
ii) Considerando o item (i), temos que o ângulo ACB mede 135°, pois, prolongando-se o lado superior do quadrado, temos a adição entre o ângulo reto (90°) com o ângulo formado pela bissetriz (diagonal do quadrado), que vale 45°;
iii) No triângulo ABC, AC é o único lado desconhecido, que coincide com o lado do quadrado;
iv) No triângulo ABC, temos um ângulo conhecido e um lado desconhecido. Com isso, podemos usar a Lei dos Cossenos;
v) Sejam: AB = a = 5 cm, BC = b = 1 cm e AC = c.
Lei dos cossenos: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 \cdot b \cdot c \cdot cos($Â$)$
Substituindo as medidas, fica:
$5^{2}=1^{2}+c^{2}-2 \cdot 1 \cdot c \cdot cos($135°$)$
$25=1+c^{2}-2c \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$24=c^{2}+c \cdot \sqrt{2}$
$c^{2}+c \cdot \sqrt{2}-24=0$
Resolvendo a equação quadrática acima:
$\Delta=b^{2}-4 \cdot a \cdot c$
$\Delta=\left(\sqrt{2}\right)^{2}-4 \cdot 1 \cdot (-24)$
$\Delta=2+96$
$\Delta=98$
$c=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}$
$c=\dfrac{-\sqrt{2}+\sqrt{98}}{2 \cdot 1}$
$c=\dfrac{-\sqrt{2}+7\sqrt{2}}{2}$
$c=\dfrac{6\sqrt{2}}{2}$
$c=3\sqrt{2}$ cm
Assim, agora sabemos que o lado do quadrado mede $c=3\sqrt{2}$ cm.
Atribuindo a fórmula da diagonal de um quadrado, temos:
$d=L\sqrt{2}$, sendo L a medida do lado do quadrado.
$d=\left(3\sqrt{2}\right) \cdot \sqrt{2}$
$d=3\sqrt{4}$
$d=3\cdot2$
$d=6$ cm
Logo, temos que CD = 6 cm. Portanto, a alternativa correta é a C.