Dê a solução real da equação irracional a seguir:
$\dfrac{\sqrt{x^{2}-144}}{\sqrt{x-5}}+\sqrt{x+5}=\dfrac{17}{\sqrt{x-5}}$
Solução:
$\sqrt{x^{2}-144}+\sqrt{x-5} \cdot \sqrt{x+5}=17$
$\sqrt{x^{2}-144}+\sqrt{(x-5) \cdot (x+5)}=17$
$\sqrt{x^{2}-144}+\sqrt{x^{2}-25}=17$
$\sqrt{x^{2}-144}=17-\sqrt{x^{2}-25}$
$(\sqrt{x^{2}-144})^{2}=(17-\sqrt{x^{2}-25})^{2}$
$x^{2}-144=289-34\sqrt{x^{2}-25}+x^{2}-25$
$34\sqrt{x^{2}-25}=289-25+144$
$34\sqrt{x^{2}-25}=408$
$(34\sqrt{x^{2}-25})^{2}=408^{2}$
$1.156 \cdot (x^{2}-25)=166.464$
$1.156x^{2}-28.900=166.464$
$1.156x^{2}=166.464+28.900$
$1.156x^{2}=195.364$
$x^{2}=\dfrac{195.364}{1.156}$
$x^{2}=169$
$x=\pm\sqrt{169}$
$x=\pm13$
Porém, observe que, na equação, em $\sqrt{x-5}$, $x$ deve ser maior que $5$, para que, simultaneamente, o denominador seja diferente de $0$ e que o radicando seja positivo, por ser uma raiz de índice par.
Logo, temos que, das raízes encontradas, apenas $x=13$ é candidata a solução da equação.
Por fim, precisamos fazer a verificação da equação para $x=13$. Assim, temos:
$\dfrac{\sqrt{x^{2}-144}}{\sqrt{x-5}}+\sqrt{x+5}=\dfrac{17}{\sqrt{x-5}}$
$\dfrac{\sqrt{13^{2}-144}}{\sqrt{13-5}}+\sqrt{13+5}=\dfrac{17}{\sqrt{13-5}}$
$\dfrac{\sqrt{169-144}}{\sqrt{8}}+\sqrt{18}=\dfrac{17}{\sqrt{8}}$
$\dfrac{\sqrt{25}}{2\sqrt{2}}+3\sqrt{2}=\dfrac{17}{2\sqrt{2}}$
$\dfrac{5}{2\sqrt{2}}+3\sqrt{2}=\dfrac{17}{2\sqrt{2}}$
$\dfrac{5+(2\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt2)}{2\sqrt2}=\dfrac{17}{2\sqrt2}$
$5+(2\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{2})=17$
$5+2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 17$
$5+6 \cdot \sqrt{4}=17$
$5+6 \cdot 2=17$
$5+12=17$
$17=17$
Como há a igualdade entre os membros, então temos que, de fato, $x=13$ é solução da equação dada.
$S=\{13\}$